Question

已知定義在（-1，1）上的f（x）滿足：對?x，y∈（-1，1），均有f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)，且x＞0時，f（x）＞0，則函數y=f（x）在定義域上的奇偶性與增減性為（　�。�

A．奇函數且增函數

B．偶函數且增函數

C．奇函數且減函數

D．偶函數且減函數

Answer 1

分析：要判定函數f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，最后根據函數單調性的定義進行判定單調性．

解答：解：∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴令y=-x，f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數．
當-1＜x＜y＜1時，
∵f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（

x-y

1-xy

），且

x-y

1-xy

＜0，
∵x＞0時，f（x）＞0，因為f（x）為奇函數，若x＜0，可得-x＞0，f（-x）＞0，-f（x）＞0，可得f（x）＜0，

∴f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）＜0，可得f（x）＜f（y），
∴f（x）為增函數，
∴f（x）為奇函數且為增函數，
故選A；

點評：本題主要考查抽象函數的奇偶性與單調性性，屬于中檔題，函數的奇偶性是函數在定義域上的“整體”性質，單調性是函數的“局部”性質．