Question

【題目】已知等比數列滿足，數列滿足.

(1)求數列， 的通項公式；

(2)令，求數列的前項和；

(3)若，求對所有的正整數都有成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)首先由題意求得首項和公比，則數列的通項公式是，然后利用遞推關系可得的通項公式是;

(2)錯位相減可得數列的前項和；

(3)結合(1)(2)的結論可得數列為單調遞減數列，然后結合恒成立的條件可得.

試題解析：

（1）設等比數列的公比為，

由，得，所以

故數列是以2為首項， 為公比的等比數列，所以

因為，所以，

所以是首項為1，公差為2的等差數列

所以，

（2）因為，

③

所以④

③﹣④得

所以

（3）證明：由（1）知，

因為

所以數列為單調遞減數列

當時， ，即得最大值為1

由，所以

而當時， ，當且僅當時取等號

故.