Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n項和為S_n，且當n≥2時，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求證：數列{S_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）令bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，記數列{b_n}的前n項和為T_n，證明對于任意的正整數n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n與a_n的關系得a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²整理得S_n²=S_n-1S_n+1s所以數列{S_n}是等比數列
（2）由（1）先求出S_n=4^n-1接著當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2驗證n=1也成立，可求出數列{a_n}的通項公式．
（3）把a_n的通項公式代入bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

得b_n的通項公式求出T_n，利用其單調性與放縮法證明不等式

3

8

≤Tn＜

7

8

．

解答：（Ⅰ）證明：當n≥2時，
a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²，
所以S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）．
又由S₁=1≠0，S₂=4≠0，可推知對一切正整數n均有S_n≠0，
∴數列{S_n}是等比數列．                                   
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比數列{S_n}的首項為1，公比為4，
∴S_n=4^n-1．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，又a₁=S₁=1，
∴an=

1 (n=1) 3×4n-2，(n≥2).

（Ⅲ）證明：當n≥2時，a_n=3×4^n-2，
此時bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

，
又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴bn=

3 8 ，(n=1) 3×4n-2 (4n-2+1)(4n-1+1) ，(n≥2)

．                       
當n≥2時，
bn=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

Tn=b1+b2+…+bn=

3

8

+(

1

42-2+1

-

1

42-1+1

)+…+(

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)
=

7

8

-

1

4n-1+1

＜

7

8

．                                 
又因為對任意的正整數n都有b_n＞0，所以T_n單調遞增，即T_n≥T₁，
∵T1=b1=

3

8

＜

7

8

所以對于任意的正整數n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

點評：考查S_n與a_n的關系與分類討論的思想，在這里求數列通項公式以及運用單調性與放縮法求和的對計算能力也有一定的要求．