Question

（本小題滿分12分）
某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇.

(Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行時間應為多少小時？
(Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；

Answer 1

（I）希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行時間為1/3小時.
（Ⅱ）小艇航行速度的最小值為海里/小時。

解析試題分析：（1）先假設相遇時小艇的航行距離為S，根據余弦定理可得到關系式S=
整理后運用二次函數的性質可確定答案．
（2）先假設小艇與輪船在某處相遇，根據余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．
（I）設相遇時小艇的航行距離為S海里，則
, 故t=1/3時，S _min =，
答:希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行時間為1/3小時.
（Ⅱ）設小艇與輪船在B處相遇

由題意可知，（vt）² =20² +（30 t）²-2·20·30t·cos（90°-30°），
化簡得：
由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2
所以當=2時，取得最小值，
即小艇航行速度的最小值為海里/小時。
考點：本試題主要考查了解三角形、二次函數等基礎知識，考查推理論證能力，抽象概括能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸思想
點評：解決該試題的關鍵是能結合余弦定理和函數與不等式的思想求解最值。