Question

函數y=asinx+2bcosx圖象的一條對稱軸方程是x=

π

4

，則直線ax+by+1=0和直線x+y+2=0的夾角的正切值為（　　）

• A．3
• B．-3
• C．

  1

  3

• D．-

  1

  3

Answer 1

分析：函數f（x）=asinx+2bcosx圖象的一條對稱軸方程是x=

π

4

，推出f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 對任意x∈R恒成立，化簡函數的表達式，求出a，b的關系，然后求出直線的斜率，再由兩條直線的夾角公式求出直線ax+by+1=0與直線x+y+2=0的夾角．

解答：解：∵f （x）=asinx+2bcosx的一條對稱軸方程是x=

π

4

，
∴f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 對任意x∈R恒成立，
asin（

π

4

+x）+2bcos（

π

4

+x）=asin（

π

4

-x）+2bcos（

π

4

-x），
asin（

π

4

+x）-asin（

π

4

-x）=-2bcos（

π

4

+x）+2bcos（

π

4

-x），
化簡得：asinx=2bsinx 對任意x∈R恒成立，
∴（a-2b）sinx=0 對任意x∈R恒成立，∴a-2b=0，
∴直線ax+by+1=0的斜率k=-

a

b

=-2．
又直線x+y+2=0的斜率為-1，設直線ax+by+1=0與直線x+y+2=0的夾角大小是θ，
則有 tanθ=|

k2-k1

1+k1k2

|=|

-2+1

1+(-2)(-1)

|=

1

3

，
故選C．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，對稱軸的應用，兩條直線的夾角公式，考查計算能力，轉化思想的應用，屬于中檔題．