Question

如圖所示，F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，M為橢圓上一點，MF₂垂直于x軸，且OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F₂有與OM垂直的直線交橢圓于P、Q兩點，若S△PF1Q=20

3

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）確定M的坐標，利用OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，得到斜率相等，由此即可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）得a=

2

c，b=c，聯立方程組

y=- 2 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

，消元可得5y²-2

2

cy-2c²=0，利用韋達定理，計算三角形的面積，利用已知條件即可求得橢圓的方程．

解答：解：（1）∵M為橢圓上一點，MF₂垂直于x軸，∴M（c，

b2

a

）
∵OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，
∴

b2

ac

=

b

a

∴b=c
∴e=

c

a

=

2

2

（2）由（1）得a=

2

c，b=c
聯立方程組

y=- 2 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

，消元可得5y²-2

2

cy-2c²=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=

2 2 c

5

，y₁y₂=-

2c2

5

∴|y₁-y₂|=

4 3

5

c
∴S△PF1Q=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

×2c×

4 3

5

c=20

3

∴c²=b²=25，a²=50
∴橢圓的方程為

x2

50

+

y2

25

=1

點評：本題考查橢圓的性質，考查橢圓的標準方程，聯立方程組，利用韋達定理，計算三角形的面積是關鍵．