Question

如圖所示，F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點(1，

3

2

)到F₁、F₂兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的焦點F₂作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知：2a=4，即a=2，將點(1，

3

2

)代入橢圓方程得 

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3，由此能得到橢圓方程．
（Ⅱ）由A(-2，0)， B(0，

3

)，知kPQ=kAB=

3

2

，所以PQ所在直線方程為y=

3

2

(x-1)，由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 8y2+4

3

y-9=0，設P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），由韋達定理能導出|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

3 4 +4× 9 8

=

21

2

，由此能求出△F₁PQ的面積．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：2a=4，即a=2
將點(1，

3

2

)代入橢圓方程得 

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1--------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-2，0)， B(0，

3

)，∴kPQ=kAB=

3

2

，
∴PQ所在直線方程為y=

3

2

(x-1)---------------（5分）
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 8y2+4

3

y-9=0---------------------------------（7分）
設P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），則y1+y2=-

3

2

， y1•y2=-

9

8

--------（8分）
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

3 4 +4× 9 8

=

21

2

--------------------------（9分）
∴S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

×2×

21

2

=

21

2

．-------------------------（10分）

點評：本題考查橢圓C的方程和求△F₁PQ的面積．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．