Question

【題目】已知橢圓： （）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知點為動直線與橢圓的兩個交點，問:在軸上是否存在定點,使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）由，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑與直線相切，求出的值，由此可求出橢圓的方程；

（2）由得，由此利用韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出在軸上存在點，使為定值，定點為。

試題解析：（Ⅰ）由，得，即，①

又以原點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓為，

且圓與直線相切，

所以，代入①得，

則.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由得，且

設，則，

根據題意，假設軸上存在定點，使得為定值，則有

要使上式為定值，即與無關，則應，

即，此時為定值，定點為.