Question

【題目】已知點(diǎn)A（2，8），B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）在拋物線 上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）

（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求BC所在直線的方程.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】由點(diǎn)A（2，8）在拋物線y2=2px 上，有 ，解得p=16.所以拋物線方程為y2=32x ，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）.

（2）

【解答】如圖，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且 ，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，則 ，解得 x0=11,y0=-4 ，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（11，－4）．

（3）

【解答】由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為：

由 消x得ky2-32y-32(11k+4)=0 ，

所以 ，由（2）的結(jié)論得 ，解得k=-4,

因此BC所在直線的方程為：4x+y-40=0 。

【解析】（1）由點(diǎn)A在拋物線上，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出參數(shù)P，求解即可（2）由于F（8，0）是△ABC的重心，則重心與焦點(diǎn)重合，由重心坐標(biāo)公式可求M是BC的中點(diǎn)。（3）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為： ，解出k即可。