Question

如圖所示，橢圓C：的一個焦點(diǎn)為F(1,0)，且過點(diǎn)(2,0)
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A、B為橢圓上的點(diǎn)，且直線AB垂直于軸，又直線：＝4與軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交
于點(diǎn)M.
(ⅰ)求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
(ⅱ)求△AMN面積的最大值．

Answer 1

解：(1)由題設(shè)，從而，
所以橢圓C的方程為＋＝1.………………………3分
(2)(i)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)．
設(shè)，則，.①
AF與BN的方程分別為：
.
設(shè)，則有
由上得
由于
＝＝1.
所以點(diǎn)M恒在橢圓C上．………………………………7分
(ⅱ)解：設(shè)AM的方程為，代入，
得
設(shè)、，則有，.
＝＝.
令，則＝
因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，
所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)有最小值4.
即時(shí),有最大值3，此時(shí)AM過點(diǎn)F.……11分
△AMN的面積S_△AMN＝·有最大值.…………12分

略