Question

如圖6，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點，，圓的直徑為9．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）見解析   （2） 

 （1）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，
∴．
在正方形中，，
∵，∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
（2）解法1：∵平面，平面，
∴．
∴為圓的直徑，即．
設正方形的邊長為，
在△中，，
在△中，，
由，解得，．
∴．
過點作于點，作交于點，連結，

由于平面，平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵平面，
∴．
∵，，
∴平面．
∵平面，
∴．
∴是二面角的平面角．
在△中，，，，
∵，
∴．
在△中，，
∴．
故二面角的平面角的正切值為．
解法2：∵平面，平面，
∴．
∴為圓的直徑，即．
設正方形的邊長為，
在△中，，
在△中，，
由，解得，．
∴．

以為坐標原點，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
．
設平面的法向量為，
則即
取，則是平面的一個法向量．
設平面的法向量為，
則即
取，則是平面的一個法向量．
∵，
∴．
∴．
故二面角的平面角的正切值為．