Question

【題目】已知函數

（1）若函數在處的切線與直線平行，求實數的值；

（2）試討論函數在區間上最大值；

（3）若時，函數恰有兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）n=6（2）見解析（3）見解析

【解析】

(1)利用導數的幾何意義求n的值.(2)對n分類討論，利用導數求函數在區間上最大值.(3)先求出的關系，再換元t=＞1得到，再求最小值大于零即可.

（1）由f′（x）=，，

由于函數f（x）在（2，f（2））處的切線與直線x﹣y=0平行，

故，解得n=6

（2）f′（x）=，（x＞0），

由f′（x）＜0時，x＞n；f′（x）＞0時，x＜n，

所以①當n≤1時，f（x）在[1，+∞）上單調遞減，

故f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=m﹣n；

②當n＞1，f（x）在[1，n）上單調遞增，在（n，+∞）上單調遞減，

故f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（n）=m﹣1﹣lnn；

（3）證明：n=1時，f（x）恰有兩個零點x1，x2，（0＜x1＜x2），

由，f（x2）=，得，

∴，

設t=＞1，lnt=，x1=，故x1+x2=x1（t+1）=，

∴，

記函數，因，

∴h（t）在（1，+∞）遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，

又lnt＞0，故x1+x2＞2成立