Question

已知數列{a_n}滿足a_n=3ⁿ-1（n∈N^*），是否存在等比數列{b_n}使得a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ對一切的n都成立？并證明你的結論．

Answer 1

分析：可令n=1，2，3，求得b₁，b₂，b₃，由此猜想b_n，構造函數f（x）=（1+x）ⁿ，（n∈N^*），令x=2，由二項式定理展開即可證明結論．

解答：解：當n=1時，a₁=b₁=2
當n=2時，a₂=b₁C₂¹+b₂C₂²=8⇒b₂=4
當n=3時，a₃=b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³=26⇒b₃=8
從而猜想b_n=2ⁿ，現在證明：（4分）
∵（1+2）ⁿ=C_n⁰+C_n¹•2¹+C_n²•2²+…+C_nⁿ•2ⁿ而C_n⁰=1
∴3ⁿ-1=C_n¹•2¹+C_n²•2²+…+C_nⁿ•2ⁿ，
故存在等比數列{b_n}（b_n=2ⁿ）使得a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ對一切的n都成立．

點評：本題考查歸納推理，等比數列等基礎知識，難點在于對組合數性質的轉化與應用，屬于中檔題．