Question

整數數列{a_n}滿足a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），若此數列的前800項的和是2013，前813項的和是2000，則其前2014項的和為

 

．

Answer 1

分析：根據遞推公式a_n+2=a_n+1-a_n可知，此數列為周期為T=6的周期數列，并且每6項的和為0，再根據前800項的和，前2000項的和，計算出a₁即可知前2014項的和．

解答：解：∵a_n+2=a_n+1-a_n，
∴a_n+3=a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n，
再令n=n+3得：a_n+6=-a_n+3=a_n  
數列的周期為：T=6，
 又∵前6項分別為：a₁，a₂，a₂-a₁，-a₁，-a₂，a₁-a₂   
∴每6項和為0，
∵S₈₀₀=S₂=a₁+a₂=2013，S₈₁₃=S₃=a₁+a₂+a₂-a₁=2a₂=2000，
∴a₂=1000，a₁=1013，
∴S₂₀₁₄=S₄=a₁+a₂+a₂-a₁+（-a₁）=2a₂-a₁=2000-1013=987，
故答案為：987．

點評：本題必須根據遞推公式，先觀察出此數列為周期數列，求出a₁，a₂然后才能求出S₂₀₁₄的和，對學生來說入手比較難．