Question

整數數列{a_n}滿足a2=4，2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，則數列{a_n}的通項a_n=

 

．

Answer 1

分析：由題設知

lim

n→∞

（2+

1

an+1

）=2，

lim

n→∞

（2+

1

an

）=2，根據夾逼定理有

lim

n→∞

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

=2，由此可知a_n=n²．

解答：解：∵a2=4，2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，
∴a_n是遞增函數，
∵a_n是正數列，∴

lim

n→∞

（2+

1

an+1

）=2，

lim

n→∞

（2+

1

an

）=2，
∴根據夾逼定理有

lim

n→∞

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

=2，
也就是說a_n必須是n的2次項才能存在極限，且為2，觀察數列a2=4，
∴a_n=n²．
故答案為：n²．

點評：本題考查看數列的遞推式，解題時要注意極限的合理運用．