Question

求滿足下列條件的直線方程：
（1）經過原點，且傾斜角是直線y=

4

3

x-2014的傾斜角的一半．
（2）傾斜角為π-arctan

1

2

，且原點到該直線的距離為

5

．
（3）過A（-2，1），B（2，-3）的中點P，比直線AB的傾斜角小45°．

Answer 1

分析：（1）根據傾斜角關系求出直線的斜率即可．
（2）根據傾斜角求出斜率，利用待定系數法進行求解．
（3）求出中點P，以及直線的傾斜角，即可求直線的方程．

解答：解：（1）設直線y=

4

3

x-2014的傾斜角為θ，則tanθ=

4

3

，則所求直線的斜率k=tan

θ

2

＞0，
∵tanθ=

4

3

=

2tan? θ 2

1-tan?2 θ 2

，
∴4tan2

θ

2

+6tan

θ

2

-4=0，
即2tan?2

θ

2

+3tan?

θ

2

-2=0，
解得tan

θ

2

=

1

2

或tan

θ

2

=-2（舍去），
直線斜率k=tan

θ

2

=

1

2

，
∵直線過原點，∴直線方程為y=

1

2

x．
（2）∵直線的傾斜角為π-arctan

1

2

，
∴斜率k=tan（π-arctan

1

2

）=-

1

2

，
設直線方程為y=-

1

2

x+b，即x+2y-b=0，
∵原點到該直線的距離為

5

．
∴d=

|b|

12+22

=

|b|

5

=

5

，
即|b|=5，解得b=±5，
∴直線方程x+2y+5=0或x+2y-5=0．
（3）A（-2，1），B（2，-3）的中點P（0，-1），
AB的斜率k=tanθ=

-3-1

2-(-2)

=

-4

4

=-1，
∴直線AB的傾斜角為135°，
則所求直線的傾斜角為135°-45°=90°，
∴直線方程為x=0．

點評：本題主要考查直線方程的求法，根據直線方程的本題的條件是解決本題的關鍵．