Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）若存在實數k和t，滿足

x

=（t-2）

a

+（t²-t-5）

b

，

y

=-k

a

+4

b

，且

x

⊥

y

，求出k關于t的關系式k=f（t）；
（2）根據（1）的結論，試求出函數k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，化簡，即可求出k關于t的關系式；
（2）利用基本不等式，可求函數k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴

a

•

b

=0，且|

a

|=2，|

b

|=1
∵

x

⊥

y

∴

x

•

y

=-（t+2）×4k+4（t²-t-5）=0
∴k=f（t）=

t2-t-5

t+2

（t≠-2）；
（2）k=f（t）=

t2-t-5

t+2

=t+2+

1

t+2

-5
∵t∈（-2，2），
∴t+2＞0，∴k=t+2+

1

t+2

-5≥-3，當且僅當t+2=

1

t+2

，即t=-1時取等號，
∴k的最小值為-3．

點評：本題考查向量知識的運用，考查基本不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．