Question

【題目】已知以點C（t，） （t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
（1）求證：△AOB的面積為定值；
（2）設直線2x+y﹣4=0與圓C交于點M、N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：由題設知，圓C的方程為（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，
化簡得x2﹣2tx+y2﹣y=0．
當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；
當x=0時，y=0或，則B(0,)，
∴S△AOB=OAOB=|2t|||=4為定值．
（2）解∵OM=ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，
∴C、H、O三點共線，KMN=﹣2，則直線OC的斜率k===，
∴t=2或t=﹣2．
∴圓心為C（2，1）或C（﹣2，﹣1），
∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5．
由于當圓方程為（x+2）2+（y+1）2=5時，直線2x+y﹣4=0到圓心的距離d＞r，
此時不滿足直線與圓相交，故舍去，
∴所求的圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
【解析】（1）設出圓C的方程，求得A、B的坐標，再根據S△AOB=OAOB，計算可得結論．
（2）設MN的中點為H，則CH⊥MN，根據C、H、O三點共線，KMN=﹣2，由直線OC的斜率k=== ， 求得t的值，可得所求的圓C的方程．