Question

已知橢圓的中心在坐標原點，左頂點，離心率，為右焦點，過焦點的直線交橢圓于、兩點（不同于點）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當時，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）判斷能否成為等邊三角形，并說明理由．

Answer 1

，或，不能

解：（Ⅰ）設橢圓方程為 (a>b>0) ，
由已知
∴                 -----------------------------------------2分
∴橢圓方程為．           -------------------------------------------------4分
（Ⅱ）解法一
橢圓右焦點．
設直線方程為（∈R）．          ----------------------------------5分
由   得．①          -----------6分
顯然，方程①的．
設，則有．     ----7分

．
∵，
∴ ．
解得．
∴直線PQ 方程為，即或．    ----------9分
解法二：橢圓右焦點．
當直線的斜率不存在時，，不合題意．
設直線方程為，            --------------------------------------5分
由 得．  ①     ----6分
顯然，方程①的．
設，則．      --------7分


=．
∵，
∴，解得．
∴直線的方程為，即或．  --------9分
（Ⅲ）不可能是等邊三角形．   ---------------------------------------------------11分
如果是等邊三角形，必有，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，或（無解）．
而當時，，不能構成等邊三角形．
∴不可能是等邊三角形．------------------------------------------------------------14分