Question

已知函數(其中a,b為實常數)。
（Ⅰ）討論函數的單調區間：
（Ⅱ）當時，函數有三個不同的零點，證明：：
（Ⅲ）若在區間上是減函數，設關于x的方程的兩個非零實數根為，。試問是否存在實數m,使得對任意滿足條件的a及t恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（I）當a=0時，f(x)的增區間為(-∞，+∞)；
當a>0時，f(x)的增區間為(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的減區間為(0，a)；
當a<0時，f(x)的增區間為(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的減區間為(a，0)．
（II）-a<b<a³-a．（III）存在實數m滿足條件，此時m∈[]．

試題分析：（I）求導函數，對參數a進行討論，利用導數的正負，確定函數的單調區間；
（II）確定f（x）的極大值為f（0）=a+b，f（x）的極小值為f（a）=a+b-a³，要使f（x）有三個不同的零點，則f(0)＞0，f(a)＜0，從而得證；
（III）先確定|x₁-x₂|=，并求得其最小值，假設存在實數m滿足條件，則m²+tm+1≤（）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，從而可求m的范圍．
解：（I）∵ ，
當a=0時，≥0，于是在R上單調遞增；
當a>0時，x∈(0，a)，，得在(0，a)上單調遞減；
x∈(-∞，0)∪(a，+∞)，，得在(-∞，0)，(a，+∞)上單調遞增；
當a<0時，，，得在(0，a)上單調遞減；
x∈(-∞，a)∪(0，+∞)，得在(-∞，a)，(0，+∞)上單調遞增．
綜上所述：當a=0時，f(x)的增區間為(-∞，+∞)；
當a>0時，f(x)的增區間為(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的減區間為(0，a)；
當a<0時，f(x)的增區間為(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的減區間為(a，0)．……3分
（II）當a>0時，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函數，f(x)在(0，a)上是減函數；則f(x)的極大值為f(0)=a+b，f(x)的極小值為f(a)=a+b-a³．
要使f(x)有三個不同的零點，則  即可得-a<b<a³-a．…8分
（III）由2x³-3ax²+a+b=x³-2ax²+3x+a+b，得x³-ax²-3x=0即x(x²-ax-3)=0，
由題意得x²-ax-3=0有兩非零實數根x₁，x₂，則x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，
即.∵ f (x)在[1，2]上是減函數，
∴ ≤0在[1，2]上恒成立，
其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，∴ a≥2．∴ ≥4．
假設存在實數m滿足條件，則m²+tm+1≤()_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴     解得．
∴ 存在實數m滿足條件，此時m∈[]． …………………14分
點評：解決該試題的關鍵是利用導數的正負對于函數單調性的影響得到函數單調區間，進而分析極值問題，以及構造函數的思想求證函數的最值，解決恒成立問題的運用。