Question

（本題15分）如圖，在四棱錐中，底面，， ，， ，是的中點。

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）四棱錐中，因底面，故，結合，平面，進而證明
（2）根據底面在底面內的射影是，，，從而證明。
（3）

試題分析：解法一：
（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，
故．
，平面．
而平面，．…………………4分
（Ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內的射影是，，．
又，綜上得平面． …………………9分

（Ⅲ）過點作，垂足為，連結．則（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．設，
可得
．
在中，，，
則．
在中，．
所以二面角的正切值為．  ………………15分
解法二：
（Ⅰ）證明：以AB、AD、AP為x、y，z軸建立空間直角坐標系，設AB=a.




 
…………………5分
（Ⅱ）證明：
 

…………………9分
（Ⅲ）設平面PDC的法向量為
則
又平面APD的法向量是
，所以二面角的正切值是 …………………15分
點評：解決該試題的關鍵是利用空間中的點線面的位置關系，來結合定理加以證明，同時結合向量法求解二面角，需要運算細心點，中檔題。