Question

如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S（平方米）表示成關于x的函數S=f（x）；
（2）當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖當通風窗在CD下方時，即時，由平面幾何知識，得，可得MN=2（2a-1）x+1，再由三角形面積公式建立面積模型．當通風窗在CD的上方時，即時，則MN=，再由三角形面積公式建立面積模型．，
（2）根據分段函數，分別求得每段上的最大值，最后取它們當中最大的，即為原函數的最大值，并明確取值的狀態，從而得到實際問題的建設方案．
解答：解：（1）當時，由平面幾何知識，得．
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=．（3分）
當時，
=，
∴（5分）
（2）當時，S=f（x）=．
∵，
∴，
∴．
①，當x=0時，．
②a＞1，當時，．（7分）
當時，
==，
等號成立??．
∴時，．（10分）
當時，∵，
∴時．當x=0，，時，
當，．（12分）
a＞1時，．
當時，．
綜上，時，當x=0時，，
即MN與AB之間的距離為0米時，三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為平方米．時，
當時，，即MN與AB之間的距離為米時，
三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為平方米．（16分）
點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了平面圖形中的相似比，三角形面積公式，分段函數求最值以及二次函數法，基本不等式法，作差法等解題方法．