Question

（2013•靜安區(qū)一模）某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

Answer 1

分析：（1）分類求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，△EMN的面積，可得分段函數(shù)；
（2）分類求出△EMN的面積的最值，比較其大小，即可得到最值．

解答：解：（1）①如圖1所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即0＜x≤1時(shí)，△EMN的面積S=

1

2

×2×x=x；（1分）
②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即1＜x＜1+

3

時(shí)，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵M(jìn)N∥CD，∴△MNG∽△DCG．
∴

MN

DC

=

GH

GF

，即MN=

2[ 3 +1-x]

3

．（4分）
故△EMN的面積S=

1

2

×

2[ 3 +1-x]

3

×x=-

3

3

x2+(1+

3

3

)x； （6分）
綜合可得：S=

x，   (0＜x≤1) - 3 3 x2+(1+ 3 3 )x．   (1＜x＜1+ 3 )

（7分）
（2）①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=x，所以有0＜S≤1；（8分）
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=-

3

3

x2+(1+

3

3

)x．
因而，當(dāng)x=

1+ 3

2

（米）時(shí)，S得到最大值，最大值S=

1

2

+

3

3

（平方米）．
∵

1

2

+

3

3

＞1，
∴S有最大值，最大值為

1

2

+

3

3

平方米．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定分段函數(shù)是關(guān)鍵．