Question

16、函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如f（x）=2x+1（x∈R）是單函數，下列命題：
①函數f（x）=x²（x∈R）是單函數；
②函數f（x）=2^x（x∈R）是單函數，
③若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數
其中的真命題是

②③④

（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：根據單函數的定義f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，可知函數f（x）則對于任意b∈B，它至多有一個原象，而①f（-1）=f（1），顯然-1≠1，可知它不是單函數，②③④都是，可得結果．

解答：解：∵若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數
∴①函數f（x）=x²不是單函數，∵f（-1）=f（1），顯然-1≠1，∴函數f（x）=x²（x∈R）不是單函數；
②∵函數f（x）=2^x（x∈R）是增函數，∴f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，即②正確；
③∵f（x）為單函數，且x₁≠x₂，
若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾
∴③正確；
④同②；
故答案為：②③④．

點評：此題是個基礎題．考查學生分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力．