Question

已知函數f(x)＝ln x＋2x－6.

(1)證明：函數f(x)有且只有一個零點；

(2)求該零點所在的一個區間，使這個區間的長度不超過

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)是增函數．

∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，

∴f(2)·f(3)<0.

∴f(x)在(2,3)上至少有一個零點．

又因f(x)在(0，＋∞)上是增函數，

從而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．

(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.

∴f(x)的零點x0∈(2,3)．

取x1＝，∵f ＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f ·f(3)<0，∴x0∈.

取x2＝，∵f ＝ln －＝ln －ln e >0，∴f ·f <0.

∴x0∈且＝≤，∴即為符合條件的區間．