Question

20.（本小題滿分8分）如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，∠ABC = 30°，PA = AB.      
(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求直線PC與平面ABC所成角的正切值；
(3)求二面角A—PB—C的正弦值.

Answer 1

解：(1)證明：∵AB是直徑 ∴∠ACB = 90°，即BC⊥AC
∴PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC 又BC平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC
（2）∵PA⊥平面ABC
∴直線PC與平面ABC所成角即∠PCA
設AC = 1，∵∠ABC = 30°∴PA = AB = 2
∴tan∠PCA = = 2
(3) 在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于連結DE
  ∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC = PC，AD⊥PC
∴AD⊥平面PBC
∴AD⊥PB
又∵PB⊥AE ∴PB⊥面AED
∴PB⊥ED
∴∠DEA即為二面角A—PB—C的平面角
在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，
分別由等面積方法求得
AD =  AE =
∴在直角三角形ADE中可求得：sin∠DEA =
即二面角A—PB—C的正弦值為.

略