Question

有下列命題：
①f（x）=a^x-l+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點（1，2）；
②已知f（x）=

( 1 2 )x，x＞3 f(x+1)，x≤3

則f（log₂5）=

1

10

，
③

sin(π-α)cos(-α)cos( 3π 2 -α)

cos( π 2 +α)sin(-π-α)

=cosα．
其中正確命題的個數為（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：①利用a⁰=1（a≠0），只要令x=1即可求出定點．
②先判斷log₂5的大小，可知3＞log₂5＞2，而log₂5+1＞3，代入計算即可．
③利用誘導公式“奇變偶不變，符號看象限”，即可計算出．

解答：解：①當x=1時，f（1）=a⁰+1=2（a≠0），∴函數f（x）=a^x-l+l（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點（1，2），故①正確；
②∵2＜log₂5＜3，∴3＜log₂5+1，∴f（log₂5）=f（log₂5+1）=(

1

2

)log25+1=2-log25-1=(2log25)-1×2-1=5^-1×2^-1=

1

10

，∴②正確；
③

sin(π-α)cos(-α)cos( 3π 2 -α)

cos( π 2 +α)sin(-π-α)

=

sinαcosα(-sinα)

-sinα[-(-sinα)]

=cosα．故③正確．
綜上可知：①②③皆正確．
故選A．

點評：本題綜合考查了函數過定點問題、分段函數及三角恒等變形，充分理解a⁰=1（a≠0）、分段函數在不同區間的解析式不同、三角函數的誘導公式是解題的關鍵．