Question

【題目】某經濟開發區規劃要修建一地下停車場，停車場橫截面是如圖所示半橢圓形AMB，其中AP為2百米，BP為4百米，，M為半橢圓上異于A，B的一動點，且面積最大值為平方百米，如圖建系．

求出半橢圓弧的方程；

若要將修建地下停車場挖出的土運到指定位置P處，N為運土點，以A,B為出口，要使運土最省工，工程部需要指定一條分界線，請求出分界線所在的曲線方程；

若在半橢圓形停車場的上方修建矩形商場，矩形的一邊CD與AB平行，設百米，試確定t的值，使商場地面的面積最大．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）在直角三角形PAB中，由已知結合勾股定理得AB．設橢圓方程為（a＞b＞0）．由已知列式求得a，b，則橢圓方程可求；

（2）由于N到P的路程相等，可得NA+AP＝NB+BP，即NA﹣NB＝2＜AB，得N在以A，B為焦點的雙曲線上，設雙曲線方程為（m＞0，n＞0），則，解得m，n的值，則雙曲線方程可求；

（3）由CD＝2t，設D（t，s）（s＞0），則．求得s，則商場地面積為y＝2ts＝2t．然后利用基本不等式求最值．

在直角三角形PAB中，，，

由勾股定理得：．

設橢圓方程為．

由題意得，解得，．

橢圓弧的方程為；

由點N到P的路程相等，，即．

得，在以A，B為焦點的雙曲線上，

設雙曲線方程為，

則，解得，．

雙曲線方程為；

由，設，則．

，

商場地面積為y＝2ts＝2t．

，，

則．

當且僅當，即時“”成立．

當時，商場地面的面積最大為平方百米．