（本小題滿分12分）
已知曲線
上的點到點
的距離比它到直線
的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點
處的切線
與
軸交于點
.直線
分別與直線及
軸交于點
，以
為直徑作圓
，過點作圓的切線，切點為
，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段
的長度是否發生變化？證明你的結論.
（1）
.（2）當點P在曲線
上運動時，線段AB的長度不變，證明見解析.
解析試題分析：（1）思路一：設
為曲線上任意一點，
依題意可知曲線是以點
為焦點，直線
為準線的拋物線，
得到曲線的方程為.
思路二：設為曲線上任意一點，
由
，化簡即得.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為
，
設
，得
，
應用導數的幾何意義，確定切線的斜率，進一步得切線
的方程為
.
由
，得
.
由
，得
.
根據
，得圓心
，半徑
，
由弦長，半徑及圓心到直線的距離之關系，確定
.
試題解析：解法一：（1）設為曲線上任意一點，
依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設，則，
由
，得切線的斜率
，
所以切線的方程為
，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變.
解法二：
（1）設為曲線上任意一點，
則，
依題意，點只能在直線
的上方，所以
，
所以
，
化簡得，曲線的方程為.
（2）同解法一.
考點：拋物線的定義，導數的幾何意義，直線方程，直線與拋物線的位置關系，直線與圓的位置關系.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓
的離心率為
，其左焦點到點
的距離為
．
(1) 求橢圓
的標準方程；
(2) 若直線
與橢圓相交于
兩點(不是左右頂點)，且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F2之間的距離為2
，橢圓上第一象限內的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的離心率為
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知動直線y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為－
，求斜率k的值；
②已知點M(－
，0)，求證：
·
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
（
）的左焦點為
，離心率為
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設O為坐標原點，T為直線
上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，
為橢圓在
軸正半軸上的焦點，
、
兩點在橢圓
上，且
，定點
.
（1）求證：當
時
；
（2）若當時有
，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當、兩點在橢圓上運動時，試判斷
是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，給出理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分13分）如圖，分別過橢圓
：
左右焦點
、
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
不同四點，直線
的斜率
、
、
、
滿足
．已知當
軸重合時，
，
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）是否存在定點
，使得
為定值．若存在，求出
點坐標并求出此定值，若不存在，說明理由．
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過點
，且離心率為
.斜率為
的直線
與橢圓
交于
兩點，以
為底邊作等腰三角形，頂點為
.
的面積．
的一個焦點為
，離心率為
.
的標準方程；
為橢圓外一點，且點
到橢圓