Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜c的解集為（-1，2）
（Ⅰ）判斷g（x）=

4x

f(x)

（x＞

1

2

）的單調(diào)性，并用定義證明；
（Ⅱ）解不等式

4x+m

f(x)

＞0

Answer 1

分析：由題設(shè)條件函數(shù)f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜c可解出用參數(shù)表示的不等式的解集又已知不等式解集為（-1，2），利用集合相等可以得出參數(shù)的方程，由此可以求出參數(shù)b，c的值．
（1）本題解題格式是先判斷出結(jié)論，再進行證明，由于本題要求用定義法證明，故按定義證明單調(diào)性證明步驟證明即可．
（2）將函數(shù)的解析代入，由于不等式中含有參數(shù)，且參數(shù)的取值對不等式的解集有影響，故須對參數(shù)分類討論來解不等式．本題中的不等式是一個分式不等式，求解時常將其變?yōu)榈葍r的整系數(shù)不等式求解．

解答：解：∵|-4x+b|＜c得

b-c

4

＜x＜

b+c

4

又∵|f（x）＜c|的解集為（-1，2）
∴

b-c 4 =-1 b+c 4 =2

得b=2（2分）

（Ⅰ）函數(shù)g（x）=

4x

2-4x

在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)（4分）
證明：設(shè)x₁＞x₂＞

1

2

則g（x₁）-g（x₂）=

2(x1-x2)

(1-2x1)(1-2x2)

∵x₁＞x₂＞

1

2

∴（1-2x₁）（1-2x₂）＞0，x₁-x₂＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＞0即g（x₁）＞g（x₂）
∴函數(shù)g（x）=

4x

2-4x

在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)（6分）

（Ⅱ）由

4x+m

-4x+2

＞0得（x+

m

4

）（x-

1

2

）＜0（8分）
①當(dāng)-

m

4

＞

1

2

，即m＜-2時，

1

2

＜x＜-

m

4

②當(dāng)-

m

4

=

1

2

，即m=-2時，無解
③當(dāng)-

m

4

＜

1

2

，m＞-2時，-

m

4

＜x＜

1

2

∴當(dāng)m＜-2時，解集為（

1

2

，-

m

4

）
當(dāng)m=-2時，解集為空集
當(dāng)m＞-2時，解集為（-

m

4

，

1

2

）（12分）

點評：本題考點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查了通過同一性轉(zhuǎn)換出方程求參數(shù)的值以及定義法證明不等式的單調(diào)性，解分式不等式等．用定義法證明單調(diào)性要注意做題步驟為設(shè)元，求差，變形，斷號，定論，做題時不可漏項，分式不等式的解法通常轉(zhuǎn)化為等價的整系數(shù)不等式求解，本題將分式不等式轉(zhuǎn)化為整系數(shù)不等式，由于其對應(yīng)方程一根與參數(shù)有關(guān)系，故需要用分類討論的方法來對不等式進行分類討論求解．