Question

設函數f（x）=

4+ 1 x2

，數列{a_n}滿足：點P(an，

1

an+1

)在曲線y=f（x）上，其中n∈N^*，且a₁=1，a_n＞0．
（I）求a₂和a₃；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若bn=

1

an2

+2n，n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，

1

an+1

=f(an)=

4+ 1 an2

，把n=，2直接代入即可求解
（II）由已知可得，

1

an+12

-

1

an2

=4，結合等差數列的通項公式可求

1

an2

，進而可求
（III）bn=

1

an2

+2n=4n-3+2ⁿ，利用分組求和，結合等差數列與等比數列的求和公式即可求解

解答：解：（I）由題意可得，

1

an+1

=f(an)=

4+ 1 an2

，
當n=1時，

1

a2

=

5

即a2=

5

5

當n=2時，

1

a3

=

9

=3即a3=

1

3

（II）∵a₁=1，a_n＞0．
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∵

1

a1

=1
∴數列{

1

an2

}是以1為首項，以4為公差的等差數列
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∴an=

1

4n-3

（III）bn=

1

an2

+2n=4n-3+2ⁿ
∴T_n=（1+2¹）+（5+2²）+…+（4n-3+2ⁿ）
=n+

n(n-1)

2

×4+

2(1-2n)

1-2

=2n²-n+2ⁿ⁺¹-2

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解數列的通項公式，及利用分組求和方法的應用，等差數列與等比數列的求和公式的應用．