Question

方程

x2

sin 2 -sin 3

+

y2

cos 2 -cos 3

=1表示的曲線是（　　）

• A、焦點在x軸上的橢圓
• B、焦點在x軸上的雙曲線
• C、焦點在y軸上的橢圓
• D、焦點在y軸上的雙曲線

Answer 1

分析：先根據三角函數的單調性結合進而利用誘導公式可分別求得即sin

2

＞sin

3

，cos

2

-cos

3

＞0，得出方程表示的曲線是橢圓．最后利用三角函數的單調性得到即sin

2

-sin

3

＜cos

2

-cos

3

．從而曲線表示焦點在y軸上的橢圓．

解答：解：∵

2

+

3

＞π，
∴0＜

π

2

-

2

＜

3

-

π

2

＜

π

2

，
∴cos(

π

2

-

2

)＞cos(

3

-

π

2

)，
即sin

2

＞sin

3

，
又0＜

2

＜

π

2

，

π

2

＜

3

＜π，
∴cos

2

＞0，cos

3

＜0，
∴cos

2

-cos

3

＞0，
方程表示的曲線是橢圓．
∵(sin

2

-sin

3

)-(cos

2

-cos

3

)=2

2

sin

2 - 3

2

sin(

2 + 3

2

+

π

4

）（*）
-

π

2

＜

2 - 3

2

＜0，∴sin

2 - 3

2

＜0，

π

2

＜

2 + 3

2

＜

3π

4

，
∴

3π

4

＜

2 + 3

2

+

π

4

＜π．∴sin(

2 + 3

2

+

π

4

)＞0，∴（*）式＜0．
即sin

2

-sin

3

＜cos

2

-cos

3

．∴曲線表示焦點在y軸上的橢圓，
故選C．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，誘導公式的化簡求值，橢圓的簡單性質．解題的關鍵是找到sin

2

-sin

3

＜cos

2

-cos

3

．