Question

【題目】已知函數 ， ,

⑴ 若有零點，求 m 的取值范圍；

⑵ 確定 m 的取值范圍，使得有兩個相異實根.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;

【解析】

(1) 在x>0時有根,再對 （2）記,證明h(x)在(0,e)上單調遞減,在(e,+∞)上單調遞增，根據零點定理h(e)<0,解得,再證明在(e,+∞)上只有一個零點，在(0,e)上只有一個零點，綜上即可得解.

(1) 在x>0有根,當時則或m≤-2e(舍),當時,f(0)=e2,則f(0)≤0無解,則m≥2e.

(2)記,

則可以證明h(x)在(0,e)上單調遞減,在(e,+∞)上單調遞增，證明如下:

任取,令, 由于, , 所以,所以函數在(0,e)上單調遞減;同理可證得在(e,+∞)上單調遞增,

所以h(e)為函數最小值,根據零點定理h(e)<0,解得,

以下說明必存在函數值大于零:

首先說明(e,+∞)上,當m≥2e時, ,當時, ;所以在(e,+∞)上只有一個零點。

再說明(0,e)上, ,所以取即中中較小值,當即時, ;當即時, ;所以在(0,e)上只有一個零點。

綜上, .