Question

已知圓C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圓C₂與圓C₁關于直線x-y-2=0對稱；
（1）求圓C₂的方程，
（2）過點（2，0）作圓C₂的切線l，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）在圓C₂上任取一點M（x，y），求出點M關于直線x-y-2=0的對稱點為N（y+2，x-2），再將N坐標代入圓C₁的方程，化簡即可得到圓C₂的方程；
（2）由（1）得圓C₂的圓心為（3，-3），半徑r=1．當直線l與圓C₂相切時，點C₂到直線l的距離等于半徑r，由此設出直線方程，利用點到直線的距離公式加以計算，即可得到所求切線l的方程．

解答：解：（1）在圓C₂上任取一點M（x，y），此點關于直線x-y-2=0的對稱點為N（m，n）
則

y-m x-n =-1 1 2 (x+m)- 1 2 (y+n)-2=0

，解得

m=y+2 n=x-2

，
∵點N（m，n）即N（y+2，x-2）在圓C₁：（x+1）²+（y-1）²=1上，
∴（y+2+1）²+（x-2-1）²=1，
化簡得（x-3）²+（y+3）²=1，即為圓C₂的方程；
（2）設經過點（2，0）圓C₂的切線l方程為y=k（x-2），
∵圓C₂的方程為（x-3）²+（y+3）²=1，
∴圓心為C₂（3，-3），半徑r=1．
∵直線l與圓C₂相切，
∴點C₂到直線l的距離等于半徑，即

|3k+3-2k|

k2+1

=1，
解之得k=-

4

3

，得切線l方程為y=-

4

3

（x-2），化簡得4x+3y-8=0；
當直線l的斜率不存在時，方程為x=2，也滿足直線l與圓C₂相切．
綜上所述，可得點（2，0）的圓C₂的切線l方程為x=2或4x+3y-8=0．

點評：本題求一個圓關于定直線對稱的圓的方程，并求過定點的圓的切線．著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．