Question

（2009•淄博一模）f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時f（x）=x²，若對任意的x∈[-2-

2

，2+

2

]不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是（　　）

• A．[

  2

  ，+∞)
• B．(-∞，-

  2

  ]
• C．[4+3

  2

  ，+∞)
• D．(-∞-

  2

  ，]∪[4+3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：先確定函數的單調性，再化抽象不等式為具體不等式，從而可得實數t的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0 時，f（x）=x²
∴當x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，(x≥0) -x2，(x＜0)

∴對任意的x∈[-2-

2

，2+

2

]，函數為增函數
∵2f（x）=2x²=（

2

x）²=f（

2

x）
∴不等式f（x+t）≤2f（x）等價于不等式f（x+t）≤f（

2

x）
∴

-2- 2 ≤x+t≤2+ 2 -2- 2 ≤ 2 x≤2+ 2 x+t≤ 2 x

∴

-2- 2 -x≤t≤2+ 2 -x - 2 -1≤x≤ 2 +1 t≤( 2 -1)x

∴t≤-

2

故選B．

點評：本題考查函數單調性的應用，考查利用單調性處理不等式恒成立問題．將不等式化為（x+t）≤f（

2

x）是解題的關鍵．