Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：面SAB⊥面SBC；
（3）求SC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由題設條四棱錐S-ABCD的體積：V=

1

3

Sh=

1

3

×

1

2

×(AD+BC)×AB×SA，由此能求出結果．
（2）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能夠證明面SAB⊥面SBC．
（3）連接AC，知∠SCA 就是SC與底面ABCD所成的角．由此能求出 SC與底面ABCD所成角的正切值．

解答：（1）解：∵底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
∴四棱錐S-ABCD的體積：
V=

1

3

Sh=

1

3

×

1

2

×(AD+BC)×AB×SA
=

1

6

×(

1

2

+1)×1×1=

1

4

．
（2）證明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB 
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（3）解：連接AC，
∵SA⊥面ABCD，
∴∠SCA 就是SC與底面ABCD所成的角．
在三角形SCA中，
∵SA=1，AC=

12+12

=

2

，
∴tan∠SCA=

SA

AC

=

1

2

=

2

2

．…10分

點評：本題考查棱錐的體積的求法，面面垂直的證明和直線與平面所成角的正切值的求法．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．