Question

（2009•閘北區一模）記數列{a_n}的前n項和為S_n，所有奇數項之和為S′，所有偶數項之和為S″．
（1）若{a_n}是等差數列，項數n為偶數，首項a₁=1，公差d=

3

2

，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若{a_n}是等差數列，首項a₁＞0，公差d∈N^*，且S′=36，S″=27，請寫出所有滿足條件的數列；
（3）若數列{a_n}的首項a₁=1，滿足2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*），其中實常數t∈(

3

5

，3)，且S′-S″=

5

2

，請寫出滿足上述條件常數t的兩個不同的值和它們所對應的數列．

Answer 1

分析：（1）{a_n}是等差數列，則S″-S′=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）…（a_2n-a_2n-1）=d+d+…d=d×

n

2

求出n，再利用等差數列前n項和公式計算
（2）{a_n}是等差數列，根據條件，結合（1）判斷n是奇數．利用等差數列性質和求和公式，得出

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
得出項數，繼而分類寫出滿足條件的數列．
（3）根據Sn與an的固有關系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，得出

an+1

an

=

3(t-1)

2t

，借助于等比數列性質解決．

解答：解：（1）若數列{a_n}項數n為偶數，由已知，得S″-S′=15=

3

2

•

n

2

，（2分）
解得n=20，（1分）
Sn=1×20+

20×19

2

×

3

2

=305．（1分）
（2）假設數列{a_n}項數n為偶數，S″-S′=

n

2

•d＞0與S″-S′=-9矛盾．故數列{a_n}項數n不為偶數，（1分）
設數列{a_n}項數n=2k+1（k∈N），
則S′=a1+a3+…+a2k+1=

a1+a2k+1

2

•(k+1)
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴

S′

S″

=

k+1

k

=

36

27

，
解得k=3，項數n=2×3+1=7，（2分）
∵S7=S′+S″=63=7a1+

7×6

2

•d，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
當d=1時，a₁=6，此時，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
所以，該數列為：6，7，8，9，10，11，12．（2分）
當d=2時，a₁=3，此時，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
所以，該數列為：3，5，7，9，11，13，15．（2分）
（3）在2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）中，令n=1，得a2=

3(t-1)

2t

．
∵2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）①
可得2tS_n-3（t-1）S_n-1=2t（n∈N^*，n＞1）②
①減去②得：

an+1

an

=

3(t-1)

2t

，且

a2

a1

=

3(t-1)

2t

．（2分）
∵

3

5

＜t＜3，
∴0＜|

3(t-1)

2t

|＜1．（當t=1時，數列為1，0，0…，顯然不合題意）
所以，{a_n}是首項a₁=1，公比q=

3(t-1)

2t

的等比數列，且公比0＜|q|＜1．（2分）
設項數n=3，∵S′-S″=

5

2

，
∴1-q+q2=

5

2

，
∴q2-q-

3

2

=0，解得q=

1- 7

2

或q=

1+ 7

2

（舍）
由

1- 7

2

=

3(t-1)

2t

解得t=

7

-2∈(

3

5

，3)
所以，當t=

7

-2時，對應的數列為1，

1- 7

2

，(

1- 7

2

)2．（2分）
設數列{a_n}為無窮數列，
由題意，得S′=

1

1-q2

，S″=

q

1-q2

，
∵S′-S″=

5

2

，
∴

1

1+q

=

5

2

，
∴q=-

3

5

∵

3(t-1)

2t

=-

3

5

，
∴t=

5

7

∈(

3

5

，3)．
所以，當t=

5

7

時，對應的數列為1，-

3

5

，(-

3

5

)2，…，(-

3

5

)n-1，…（2分）

點評：本題考查等差數列前n項和公式及其應用，轉化代換的方法．等比數列判定，分類討論、計算能力．