Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；
（2）b_n=2n•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a（λ為非零整數，n∈N^*），試確定λ的值，使得數列{c_n}是遞增數列．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，可得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），由此可得結論，并可求通項公式；
（2）利用錯位相減法，求得數列{b_n}的前n項和，代入不等式，利用函數的單調性，即可求n的取值范圍；
（3）要使c_n+1＞c_n恒成立，即3×4ⁿ-3（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹＞0恒成立，分離參數，分類討論，即可求得結論．

解答：（1）證明：由已知得，(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2，n∈N*)，----------------（1分）
即an+1-an=1(n≥2，n∈N*)，且a₂-a₁=1．----------------（2分）
所以數列{a_n}是以a₁=2為首項，公差為1的等差數列，
所以a_n=n+1．------------------（4分）
（2）解：由（1）知bn=(n+1)•2n，它的前n項和為T_nTn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n．①2Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+(n+1)•2n+1．②
①-②得，-Tn=2•21+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1-----------------（6分）=4+

22•(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1=-n•2n+1∴Tn=n•2n+1．--------------------（8分）
（3）解：∵a_n=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ•2n+1，
要使c_n+1＞c_n恒成立，即3×4ⁿ-3（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹＞0恒成立，∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，…（12分）
（i）當n為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1．
（ii）當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，當且僅當n=2時，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，又λ為非零整數，則λ=-1．…（15分）
綜上所述：存在λ=-1，使得對任意的n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（16分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．