Question

已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，且．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）若點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出該定點(diǎn)，并求出的面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）．（2）存在定點(diǎn)（0,1），．　

試題分析：（1）把代入，消去，整理得，
                     2分
過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
拋物線(xiàn)的方程為．                         6分
（2）切線(xiàn)方程為，即，
                         8分
令，，
當(dāng)時(shí)，，即，            10分
，，
點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，

，
，       13分
不妨設(shè)，令，
，
在上遞減，在上遞增，
，
即當(dāng)時(shí)，．　　　　　　　　　15分
點(diǎn)評(píng)：解決拋物線(xiàn)中的定值及最值問(wèn)題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等式（方程）關(guān)系，根據(jù)條件求解定值及最值，因此這里問(wèn)題的難點(diǎn)就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等式（或等量關(guān)系）。建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，這個(gè)變量可以是直線(xiàn)的斜率、直線(xiàn)的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)實(shí)際情況靈活處理。