Question

設函數的圖象關于直線y=x對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷并證明函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）若直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點，且，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數的圖象關于直線y=x對稱
∴
∴m=1（5分）
（2）函數在區間（1，+∞）上單調遞減 （6分）
設x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂則：（8分）
∴在（1，+∞）上的單調遞減 （10分）
（3）∵函數=1+
∴函數的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）
∵直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點
∴y=1，
得a=1，（12分）
又，
∵f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴
∴．
分析：（1）由函數的圖象關于直線y=x對稱，知道原函數與反函數解析式一樣，從而求出m的值；
（2）利用定義法證明，函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）根據f（x）的值域求其a的值，再由第二問函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減，求出t的范圍；
點評：此題主要考查反函數的定義，函數單調性的證明及其應用，第三問求a的值，是利用函數f（x）的值域來求，想法比較新穎，是一道好題．