Question

在平面直角坐標系中，已知直線l:y=-1，定點F(0，1)，過平面內動點P作PQ丄l于Q點，且•

(I )求動點P的軌跡E的方程；

(II)過點P作圓的兩條切線，分別交x軸于點B、C，當點P的縱坐標y₀>4時，試用y₀表示線段BC的長，并求ΔPBC面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最小值為32．

【解析】（Ⅰ）設出點的坐標，根據條件列式化簡即可；（Ⅱ）先求出切線方程，然后利用弦長公式求出三角形的底邊，然后利用點到直線的距離求出高，進一步求出面積的最值

（Ⅰ）設，則，∵，

∴． …………………2分

即，即，

所以動點的軌跡的方程． …………………………4分

（Ⅱ）解法一：設，不妨設．

直線的方程:，化簡得 ．

又圓心到的距離為2， ，        

故，易知，上式化簡得， 同理有．　…………6分　

所以，，…………………8分

則．

因是拋物線上的點，有，

則 ，． ………………10分

所以．

當時，上式取等號，此時．

因此的最小值為32．  ……………………12分 

解法二：設, 則，、的斜率分別為、，

則：，令得，同理得；

所以，……………6分

下面求,由到：的距離為2，得，

因為，所以，化簡得，

同理得…………………8分

所以、是的兩個根.

所以

，，

，……………10分

所以．

當時，上式取等號，此時．

因此的最小值為32．