Question

如圖，設(shè)P是拋物線C₁：x²=y上的動點．過點P做圓C₂：x²+（y+3）²=1的兩條切線，交直線l：y=-3于A，B兩點。

（1）求C₂的圓心M到拋物線C₁準線的距離；
（2）是否存在點P，使線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意可知，拋物線C₁的準線方程為：
所以圓心M到拋物線C₁準線的距離為；
（2）設(shè)點P的坐標為（x₀，x₀²），拋物線C₁在點P處的切線交直線l于點D
再設(shè)A，B，D的橫坐標分別為
過點P（x₀，x₀²）的拋物線C₁的切線方程為：  （1）
當(dāng)時，過點P（1，1）與圓C₂的切線PA為：
可得
所以
設(shè)切線PA，PB的斜率為，則
   （2）
  （3）
將分別代入（1），（2），（3），得

從而
又
即
同理
所以是方程的兩個不相等的根，從而
，
因為
所以，即
從而
進而得
綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為（，）。