Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓∶的左、右焦點(diǎn)分別、焦距為，且與雙曲線共頂點(diǎn)．為橢圓上一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求過(guò)、、三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若，且，求的最大值．

Answer 1

（1）（2）；（3）

解析試題分析：（1）由題易得橢圓中，可得橢圓方程；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，故，可得的方程為，聯(lián)立
直線方程和橢圓方程得，，可得圓心坐標(biāo)和半徑，則圓的方程可求；
（3）由題，設(shè)，，
可得，將其代入橢圓方程解得  ，，
由，，即得的最大值
1）解：由題意得,故橢圓的方程為．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/11/8/ad5v11.png" style="vertical-align:middle;" />所以的方程為
由 解得點(diǎn)的坐標(biāo)為． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d9/0/1nogp4.png" style="vertical-align:middle;" />所以為直角三角形
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/51/6/fqxmv1.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)為，，
所以圓的方程為.
（3）設(shè)，則， 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/0/xw3s7.png" style="vertical-align:middle;" /> ，所以即
所以解得  
所以 
 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6e/7/yvcjq2.png" style="vertical-align:middle;" /> ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．
最大值為．            
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，基本不等式