Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=(

1

4

)n（n∈N﹡），S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n=______．

Answer 1

由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×

1

4

+42•(

1

4

)2+…+4n-1•(

1

4

)n-1+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
故答案為n．