Question

將邊長為a的一塊正方形鐵皮的四角各截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒．欲使所得的方盒有最大容積，截去的小正方形的邊長應為多少？方盒的最大容積為多少？

Answer 1

【答案】分析：首先列出容積與小正方形的邊長的函數關系，建立實際問題的函數模型，利用導數作為工具求解該最值問題．注意自變量的取值范圍問題．
解答：解：設小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為a-2x，
由于a-2x也要＞0，則x∈（0，），
且方盒是以邊長為a-2x的正方形作底面，高為x的正方體，
其體積為
V'=（a-2x）（a-6x），令V'=0，則=，
由，且對于，，
∴函數V在點x=處取得極大值，由于問題的最大值存在，
∴V（）=即為容積的最大值，此時小正方形的邊長為．
點評：本題考查函數的應用，考查函數模型的工具作用，考查求函數最值的導數思想．體現了實際問題數學化的思想，注意發揮導數的工具作用．