Question

將邊長為a的一塊正方形鐵皮的四角各截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒．欲使所得的方盒有最大容積，截去的小正方形的邊長應為多少？方盒的最大容積為多少？

Answer 1

分析：首先列出容積與小正方形的邊長的函數關系，建立實際問題的函數模型，利用導數作為工具求解該最值問題．注意自變量的取值范圍問題．

解答：解：設小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為a-2x，
由于a-2x也要＞0，則x∈（0，

a

2

），
且方盒是以邊長為a-2x的正方形作底面，高為x的正方體，
其體積為V=x(a-2x)2，(x∈(0，

a

2

))
V'=（a-2x）（a-6x），令V'=0，則x1=

a

2

，x2=

a

6

，
由x1=

a

2

∉(0，

a

2

)，且對于x∈(0，

a

6

)，V′＞0，x∈(

a

6

，

a

2

)，V′＜0，
∴函數V在點x=

a

6

處取得極大值，由于問題的最大值存在，
∴V（

a

6

）=

2a3

27

即為容積的最大值，此時小正方形的邊長為

a

6

．

點評：本題考查函數的應用，考查函數模型的工具作用，考查求函數最值的導數思想．體現了實際問題數學化的思想，注意發揮導數的工具作用．