Question

已知函數f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞0，求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）設函數g（x）=-

a

x

．若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）將a=2代入，對函數f（x）進行求導得到切線的斜率k=f′（1），切點為（1，f（1）），根據點斜式即可寫出切線方程；
（Ⅱ）由題意知先求函數f（x）的定義域，再由（1）得出的導數，設h（x）=ax²-2x+a．下面對a進行分類討論：①當若0＜a＜1時，②當a≥1時，由此可知f（x）的單調增區間．
（Ⅲ）存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞

2lnx0

x0

，令F（x）=

2lnx

x

，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．利用導數易求其最小值

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，函數f（x）=2（x-

1

x

）-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2．  
從而曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       
（Ⅱ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）． 
∵f′（x）=

ax2-2ax+a

x2

，
不妨設h（x）=ax²-2x+a，
當a＞0時，△=4-4a²，
①若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1- 1-a2

a

；
∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，

1- 1-a2

a

）和（

1- 1-a2

a

，+∞）；
②若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
（Ⅲ）因為存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞

2lnx0

x0

．
令F（x）=

2lnx

x

，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．
對F（x）求導，得F′（x）=

2(1-lnx)

x2

．
因為當x∈[1，e]時，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調遞增．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．時f（x） 在（0，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查導數的幾何意義、導數研究函數單調性及求函數的最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力，對于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉化為函數最值解決．