Question

【題目】已知函數，且是曲線的切線.

（1）求實數a的值以及切點坐標；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】(1) ，切點為 (2)證明見解析

【解析】

（1）求出的導數，設出切點，可得切線的斜率，由切線方程可得的方程，解方程可得；

（2）先通過對 求導利用函數單調性，得到，再構造函數 ，求導利用函數單調性得到，即可求解。

解：（1）設切點為，則切線為

即

從而

消去a得：

記

則，顯然單調遞減且，

所以時，，單增，時，，單減，故當且僅當時取到最大值，而.

所以，切點為

（2）（方法一）記，，則

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，

∴，∴，即①

，

則

∴時，，單調遞減；

時，，單調遞增

∴，即，∴即②

由①②得.

（方法二）令，

則

令，易知在上單增，且，

所以當時，，從而；

當時，，從而，

即在單減，在單增，

則的最小值為

所以當時，，即，

，即，

（方法三）記，則調遞減

時，，單調遞增，

所以，故，等號成立當且僅當

故，等號成立當且僅當.

欲證，只需證明，即

記，則

從而時，，單調遞減，

時，，單調遞增，

所以，，可得，即

∴.