Question

已知函數函f（x）=x|x|-2x（x∈R）
（1）判斷函數的奇偶性，并用定義證明；
（2）作出函數f（x）=x|x|-2x的圖象；
（3）討論方程x|x|-2x=a根的情況．

Answer 1

（1）∵f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∴當x＞0時，-x＜0，故f（-x）=-x²+2x，=-f（x）
當x＜0時，-x＞0，故f（-x）=x²+2x=-f（x）
當x=0時，-x=0，故f（-x）=-f（x）=0
綜上函數f（x）=x|x|-2x為奇函數
（2）由（1）中f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

則函數的圖象如下圖所示：

（3）由圖可知：
當a＜-1，或a＞1時，方程x|x|-2x=a有一個根；
當a=-1，或a=1時，方程x|x|-2x=a有二個根；
當-1＜a＜1時，方程x|x|-2x=a有三個根；