Question

設函數f(x)滿足2f(x)-f()=4x-+1,數列{a_n}和{b_n}滿足下列條件:a₁=1,a_n+1-2a_n=f(n),b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*).
(1)求f(x)的解析式.
(2)求{b_n}的通項公式b_n.
(3)試比較2a_n與b_n的大小,并證明你的結論.

Answer 1

(1) f(x)=2x+1   (2) b_n=3·2ⁿ-2   (3)見解析

(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,
∴2f()-f(x)=-2x+1.
聯立方程組
①×2+②,得3f(x)=6x+3
∴f(x)=2x+1.
(2)由題設a_n+1=2a_n+2n+1　　　　　　　③,
a_n+2=2a_n+1+2n+3 ④,
④-③得a_n+2-a_n+1=2(a_n+1-a_n)+2,
即b_n+1=2b_n+2,∴b_n+1+2=2(b_n+2),
∴{b_n+2}為等比數列.
q=2,b₁=a₂-a₁=4,b_n+2=6·2^n-1,
∴b_n=3·2ⁿ-2.
(3)由(2),知a_n+1-a_n=3×2ⁿ-2,而已知a_n+1-2a_n=2n+1,聯立解得a_n=3×2ⁿ-2n-3,
∴2a_n=6×2ⁿ-4n-6,
∴2a_n-b_n=3×2ⁿ-4(n+1).
當n=1時,2a₁-b₁=-2<0,∴2a₁<b₁;
當n=2時,2a₂-b₂=0,∴2a₂=b₂;
當n=3時,2a₃-b₃=8>0,∴2a₃>b₃;
當n=4時,2a₄-b₄=28>0,∴2a₄>b₄.
猜想當n≥3時,2a_n>b_n即3×2ⁿ>4(n+1).
當n=3時,顯然成立,
假設當n=k(k≥3)時,命題正確,
即3×2^k>4(k+1).
當n=k+1時,
即3×2^k+1=2×(3×2^k)>8(k+1)=8k+8
=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).
不等式也成立,故對一切n≥3且n∈N^*,
2a_n>b_n.
綜上所述,當n=1時,2a_n<b_n;
當n=2時,2a_n=b_n;
當n≥3時,2a_n>b_n.